Số nguyên tố và bài tập áp dụng

1. Định nghĩa số nguyên tố

Số nguyên tố là những số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó

Các số nguyên tố từ 2 đến 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

2. Các tính chất của số nguyên tố

Ký hiệu "b | a" nghĩa là b là ước của a, ký hiệu

a \vdots b

nghĩa là a chia hết cho b.

1. Ước tự nhiên khác 1 nhỏ nhất của một số tự nhiên là số nguyên tố.

Chứng minh: Giả sử d | a; d nhỏ nhất; d ≠ 1.

Nếu d không nguyên tố ⇒ d = d1.d2; d1, d2 > 1

⇒ d1|a với d1 < d: mâu thuẫn với d nhỏ nhất. Vậy d là nguyên tố.

2. Cho p là số nguyên tố; a ∈ N; a ≠ 0.

Khi đó

(a,p) = p ⇔(

a \vdots p

)
(a,p) = 1 ⇒ (

a \vdots p

)

3. Nếu tích của nhiều số chia hết cho một số nguyên tố p thì có ít nhất một thừa số chia hết cho p.

\prod\limits_{i = 1}^N {{a_i}} \vdots p \Rightarrow \exists {a_i} \vdots p

4. Ước số dương bé nhất khác 1 của một hợp số a là một số nguyên tố không vượt quá 

\sqrt a

5. 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất

6. Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn (tương đương với việc không có số nguyên tố lớn nhất).

Chứng minh: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố: p1 < p2 <... < pn

Xét a = p1.p2.... pn + 1

Ta có: a > 1 và a ¹ pi; "i = Þ a là hợp số Þ a có ước nguyên tố pi,

hay aMpi và (pi) M pi Þ 1M pi: mâu thuẫn.

Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.

Bài tập áp dụng của số nguyên tố

Bài 1 : cho p và 2p + 1 đều là số nguyên tố (p > 5) .Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số
Giải
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 suy ra 4p cũng không chia hết cho 3.Do 2p + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 suy ra 2(2p + 1) không chia hết cho 3 hay 4p + 2 không chia hết cho 3 mặt khác trong 3 số tự nhiên liên tiếp 4p,4p + 1 , 4p + 2 có một số chia hết cho 3 do đó 4p + 1 chia hết cho 3 mà 4p + 1 > 3 suy ra 4p + 1 là hợp số.
Bài 2 : cho p và p + 4 là số nguyên tố (p>3) chứng tỏ rằng p + 8 là hợp số

Giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 suy ra loại
Nếu p = 3k + 1 thì p + 7 = 3k + 8 không chia hết cho 3 suy ra 2(3k + 7) không chia hết cho 3 hay 2p + 14 không chia hết cho 3 mà trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 mà 2p + 14 và 2p + 15 không chia hết cho 3 suy ra 2p + 16 chia hết cho 3 hay p + 8 chia hết cho 3 suy ra p + 8 là hợp số
Bài 3 : tìm 3 số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố .
Giải
Giả sử ba số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố là p , p+ 2, p + 4
Nếu p = 3 thì p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là số nguyên tố ( thỏa mãn )
Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
Với p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 (loại )
Với p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 ( loại)
Vậy chỉ có ba số là 3,5,7
Bài 4 : tìm ba số nguyên tố dạng p , p + 10 , p + 20
Giải
Ta viết p, (p + 1) + 9 , ( p + 2 ) + 18 .Trong ba số p ; p + 1 ; p + 2 luôn có một số chia hết cho 3 suy ra trong ba số p, (p + 1) + 9 , ( p + 2 ) + 18 luôn có một số chia hết cho 3 hay trong ba số
p , p + 10 , p + 20 luôn có một số chia hết cho 3 , vậy p = 3 ta có ba số đó là 3,13

Với các kiến thức về số nguyên tố này hy vọng các bạn sẽ nắm vững kiến thức môn toán lớp 6. Chúc các bạn học tốt.