Lý thuyết về nguyên hàm và bảng nguyên hàm của một số hàm số

Các bài toán về nguyên hàm là không thể thiếu trong chương trình toán trung học phổ thông cũng như trong các bộ đề ôn thi đại học. Đây là những bài toán quan trọng và có liên quan mật thiết với các dạng bài toán khác trong chương trình học. Tuy nhiên việc tìm nguyên hàm của một hàm số lại không phải và vấn đề đơn giản với một số học sinh. Bài viết của chúng tôi sẽ giúp bạn hiểu hơn về nguyên hàm và một số nguyên hàm thường gặp

I/ Nguyên hàm là gì

1/ Định nghĩa nguyên hàm:

Một hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của 1 hàm số f(x)  trên (a;b) nếu như  F′(x)=f(x)

 ví dụ: Cho F(x)=x3 và f(x)=3x

2/ Định lý của nguyên hàm:

Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì ta có:

  • Với mọi hằng số C bất kỳthì F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b)
  • Ngược lại ta cũng có với mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì ta đều có thể viết dưới dạng F(x)+Cvới Clà hằng số bất kỳ.
  • Theo định lý của nguyên hàm để tìm tất cả các nguyên hàm của 1 hàm số f(x) ta chỉ cần tìm 1 nguyên hàm nào đó rồi cộng vào nguyên hàm đó một hằng số C.
  • Tập hợp tất các nguyên hàm của hàm số f(x) được gọi là họ nguyên hàm của hàm số f(x) và kí hiệu là: ∫f(x)dx (còn gọi là tích phân bất định)
  • Vậy ta có:  ∫f(x)=F(x)+C

3/ Các tính chất của nguyên hàm

• ∫f(x)dx)′=f(x)
• ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx , k là hằng số bất kỳ
• ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
• ∫[f(x)−g(x)]dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx

Sự tồn tại của nguyên hàm: Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì đều có nguyên hàm trên đoạn [a; b] đó

II/ Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp

bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp