Các dạng bài tập nguyên hàm thường gặp

Trong cấu trúc đề thi THPT quốc gia cũng như thi đại học thì các bài tập nguyên hàm là không thể thiếu. Vì vậy chúng ta nên củng cố chắc kiến thức về nguyên hàm để có thể giải những bài toán một cách tốt nhất. Dưới đây chung tôi xin giới thiệu một số dạng bài tập về nguyên hàm để các bạn tham khảo

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số dựa vào bảng nguyên hàm

Bài 1. Hãy tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a.       b.           c.                    d.       e.   

f.                  g.            h.           i.      j.  

l.                m.     n.                   o.          p. 

Dạng 2: Dạng bài tập nguyên hàm tìm nguyên hàm của hàm số bằng phương pháp đổi biến

Ví dụ: Tính tích phân 

 Cách 1: Phương pháp giải bài tập nguyên hàm bằng đổi biến số  , rồi rút theo t.

+) sau đó xác định vi phân: 

+) ta có biểu thị  f(x)dx theo và dt. Nếu giả sử . Thì khi đó 

Một số lưu ý về dấu hiệu lựa chọn ẩn phụ:

Dấu hiệu

Có thể chọn

Hàm số có mẫuĐặt t là mẫu
Hàm Đặt 
Hàm Đặt 
Hàm  Đặt 
Hàm lẻ với sinxĐặt 
Hàm lẻ với cosxĐặt 
Hàm chẵn với sinx và cosxt =tanx

Cách 2: Đổi biến số  

+) Lấy vi phân của 

+) ta có biểu thị f(x) theo t và dt, nếu giả sử: f(x)dx= g(t)dt. Thì khi đó ta có 

Một số dấu hiệu chọn ẩn phụ:

Dấu hiệuCó thể chọn
  
   
  
  hoặc Đặt 
  Đặt 

Bài 2. Hãy tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a.                  b.          c. 

d.                          e.                               f. 

g.                       h.                                 k. 

l.                          m.                           n. 

Dạng 3: Giải bài tập nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

Bài 3. Bạn hãy tìm nguyên hàm của các hàm số.

a.            b.            c.     d.             e.          f. 

Dạng 4: Tìm nguyên hàm của một hàm phân thức hữu tỷ

Bài 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a.                         b.                         c.  

d.                                 e.                                               f. 

e.                                    f.                                          h. 

Dạng 5: Bài tập nguyên hàm của các hàm số lượng giác

Các bài tập cơ bản:

a) Bài tập nguyên hàm của các hàm số có dạng:

Phương pháp giải chung: ta dùng các công thức biến đổi và công thức hạ bậc để đưa các hàm số về tổng các nguyên hàm cơ bản.

Bài 5. Tìm các nguyên hàm của các hàm số:

a.       b.         c.   

b) Tìm nguyên hàm của các hàm số dạng: 

Phương pháp giải: Xét tính chẵn lẻ của m, n để biến đổi hoặc là đặt ẩn phụ cho phù hợp.

Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a.        b.                                           c. 

d.               e.                                              f. 

Dạng 6: Bài tập nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi lượng giác của hàm số

Bài 7. Hãy tìm nguyên hàm của hàm số

a.                b.                      c. 

d.                      e.                          f. 

g.       h.                 k. v

Dạng 7: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit

Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số

a.            b.                    c. 

d.             e.                  f. 

Qua việc nghiên cứu các dạng bài tập nguyên hàm giúp bạn củng cố thêm kiến thức đã học một cách hệ thống nhất.